【浙江】10022微分几何自学考试大纲

［10022］

微分几何自学考试大纲

浙江省高等教育自学考试办公室

二OO二年四月

指定教材：《微分几何》，梅向明等编，高等教育出版社2003年12月第3版

一、课程性质和学习目的

微分几何是以数学分析为工具来研究空间形式的一门数学分科，主要讨论曲线与曲面的性质。经典微分几何主要讨论曲线与曲面的局部性质。微分几何在机械工程、力学、引力理论及理论物理等其它领域都有广泛应用。

本课程以经典微分几何为主，包括曲线论和曲面论两部分内容。在学习微分几何时，要力求了解与掌握几何概念和方法，注意培养几何直观和图形想象的能力，从具体到抽象的能力。

 

 

二、课程内容及考核要求

 

第一章  曲线论

曲线论主要讨论曲线在一点邻近的形状，即弯曲程度和扭曲程度。通过曲线的基本三棱形与弧长、曲率和挠率这三个不变量推出曲线论的基本公式——Frenet公式，用它来刻划曲线在一点邻近的变化规律。这公式的应用贯串于整个曲线论，它既是曲线的重点内容，又是研究曲面论必须具备的基础知识。

（一）课程内容

1．向量代数复习

2．向量函数

向量函数的微积分，定长的向量函数，单位向量函数的旋转速度定理。

3．曲线的概念

曲线的概念，曲线的光滑性，正则性，曲线的切线、法线、弧长、自然参数。

4．空间曲线

空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率，Frenet公式，空间曲线在邻近一点的结构，空间曲线论的基本定理。

5．特殊曲线

平面曲线的Frenet标架、曲率、曲率半径、曲率中心和曲率圆，Frenet公式，基本定理，渐伸线和渐缩线，一般螺线，Bertrand曲线。

（二）考核要求

1．明确有关向量代数的基本概念，掌握基本运算。

2．理解向量函数概念，掌握向量函数的微积分，定长的向量函数，单位向量函数的旋转速度定理。

3．理解曲线的概念，掌握曲线的光滑性，正则性，曲线的切线、法线、弧长、自然参数。

4．掌握空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率，Frenet公式，空间曲线在邻近一点的结构，空间曲线论的基本定理。

5．理解平面曲线、一般螺线、Bertrand曲线等特殊曲线，掌握平面曲线的Frenet标架、曲率、曲率半径、曲率中心和曲率圆，Frenet公式，基本定理。会求平面曲线渐伸线和渐缩线。

 

第二章  曲面论

曲面论包括四部分内容：一、曲面的基本概念。二、曲面的内蕴几何，就是仅与曲面的第一基本形式有关的性质和量。三、曲面的外蕴几何，就是与曲面的第一、二基本形式都有关的性质。由于曲面的外蕴性质是通过曲面上曲线的法曲率、主曲率来刻划的，因此，法曲率和主曲率是第三部分的重点内容。四、利用Gauss曲率和平均曲率给出某些特殊曲面的特征和性质。总之，本章以第一部分为基础知识，第二、三部分为重点，第四部分是应用。

（一）课程内容

1．曲面的概念

简单曲面及表示，曲纹坐标，坐标曲线及曲纹坐标网，曲面的光滑性、正则性，切平面和法线。

2．曲面的第一基本形式，内蕴几何曲面的第一基本形式，曲面上曲线的弧长，曲线间的交角，曲面域的面积，曲面上的曲线族和正交轨线，等距变换，保角变换。

3．曲面的第二基本形式，外蕴几何曲面的第二基本形式，曲率、法曲率，Dupin指标线，渐近方向和共轭方向，曲面在一点邻近的结构，Gauss曲率的几何意义。

4．可展曲面直纹面，可展曲面及其五个特征。

5．曲面论基本定理

曲面的基本公式，基本方程，曲面论基本定理。

6．曲面上的测地线

曲面上的测地曲率，测地线，曲面上的半测地线网，Gauss-Bonnet公式，曲面上向量的平行移动。

7．常曲率曲面

（二）考核要求

1．理解曲面的概念，掌握简单曲面及表示，曲纹坐标，坐标曲线及曲纹坐标网，曲面的光滑性、正则性，切平面和法线。

2．理解曲面的第一基本形式，掌握曲面上曲线的弧长，曲线间的交角，曲面域的面积，曲面上的曲线族和正交轨线，等距对应，保角对应。

3．理解曲面的第二基本形式，掌握曲率、法曲率，Dupin标线，渐近方向和共轭方向，曲面在一点邻近的结构，Gauss曲率的几何意义。

4．掌握直纹面，可展曲面及其五个特征。

5．熟悉曲面的基本公式，基本方程，曲面论基本定理。

6．熟悉曲面上的测地曲率，测地线，曲面上的半测地线网，Gauss-Bonnet公式，曲面上向量的平行移动。

7．熟悉常曲率曲面

 

第三章、第四章内容不作要求