【浙江】10023实变函数与泛函分析初步自学考试大纲

[10023]

实变函数与泛函分析初步自学考试大纲

浙江省高等教育自学考试办公室

二00四年八月

指定用书：程其襄等编《实变函数与泛函分析基础》,高等教育出版社,2003年7月第2版

参考用书：郑维行、王声望编《实变函数与泛函分析概要》上册，高等教育出版社，96年

夏道兴编《实变函数论与泛函分析》（第二版）上册，高等教育出版社，84年.

I  课程性质

    实变函数论是19世纪末20世纪初形成的一个数学分之，它的基本内容已成为分析数学各个分之的普遍基础.

实变函数主要指自变量取实数值的函数，而实变函数论就是研究一般实变函数的理论，如果说微积分所讨论的函数都是性质“良好”的函数，那么实变函数就是讨论一般的函数，包括从微积分学来看性质“不好”的函数，实变函数论是微积分深入与发展，函数的可积性是实变函数论中的主要内容.  

总之，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支的应用是现代数学的特征.

   

实变函数论的产生

    微积分产生于十七世纪，到了十八世纪末十九世纪初，微积分学已经基本上成熟了.数学家广泛地研究并建立起它的许多分支，很快就形成了数学中的一大门类，也就是今天的数学分析.

    也正是在那个时候，数学家逐渐发现分析基础本身还存在着学多问题.比如，什么是函数这个看上去简单而且十分重要的问题， 数学界并没有形成一致的见解. 以至于争论者提出了各种各样的解答及不同的数学结果， 弄不清究竟谁是正确的. 又如，对于什么是连续性和连续函数的性质是什么，数学界也没有足够清晰的理解.

    十九世纪初，曾经有人试图证明任何连续函数除个别点外总是可微的.后来，德国数学家维尔斯特拉斯提出了一个由级数定义的函数，这个函数是连续函数，但是维尔斯特拉斯证明了这个函数在任何点上都没有导数.这个证明使许多数学家大为吃惊.

    由于发现了某些函数的奇特性质，数学家对函数的研究更加深入了. 后来人们发现了连续但是不分段单调的函数，几乎处处为常数不可积函数等等. 这些都促使数学家考虑，我们要处理的函数，仅仅依靠直观观察和猜测是不行的，必须深入研究各种函数的性质. 比如，连续函数必定可积，但是具有什么性质的不连续函数也可积呢？如果改变积分的定义，可积分条件又是什么样的？连续函数不一定可导，那么可导的充分必要条件由是什么样的？

上面这些函数性质问题的研究，逐渐产生了新的理论，并形成了一门新的学科，这就是实变函数.

 

Ⅱ   学习要求

 

• 集合

1、 掌握集合概念，掌握集合的交、并、余等运算的定义和性质（包括无穷多个集的运算）.
2、 掌握集列的上极限与下极限集的概念及它们用集列的交和并所表示的式子，能够正确写出具体集列的上、下极限集或极限.
3、 理解一一映照的概念，能够正确写出两个集之间的一一映照.
4、 掌握对等和基数的定义及性质，掌握基数大小的定义.掌握证明集合对等的两个定理（两个不交集列对等定理和伯恩斯坦定理），能够应用它们来证明集合对等.
5、 掌握可数集的概念及可数基数a概念.掌握可数基数a 的最小性，掌握可数集运算后的基数定理及各种可数集的实例.
6、 掌握实数集的不可数性及连续基数c，掌握各种具有连续基数的集.掌握没有最大基数的定理并能够正确地证明之.

本章习题为30页4,5,6,7,8,9,10,11,14,15.

第二章 点焦

1、 理解n 维欧氏空间的概念，掌握邻域概念及邻域的性质.掌握点列收敛的描述（用距离d及用邻域u来描述），掌握两集之距离，一集之直径及n维区间等概念.
2、 掌握内点、外点、界点、聚点、孤立点等概念（包括等价命题）.掌握开核、边界、导集、闭包等概念，能够正确写出具体点集的开核、边界、导集及闭包.
3、 掌握开集、闭集、自密集、完备集等概念（包括等价命题和关系式）并能够对具体集合进行判别.
4、 掌握开闭集的对偶性定理及保持开闭性的交并运算定理.能够应用于判别具体实例.
5、 掌握直线上开集、闭集、完备集的构造.
6、 掌握康托点集的构造及性质（包括非空性、完备性、无处稠密性、无内点、基数为c、测度为零等）.

本章习题为49-50页2,3,4,5,6,7,8,9,,11.

 

第三章 测度论

1、 掌握勒贝格外测度的定义 （m* E）及其基本性质（包括非负性，空集外测度规定、单调性和可次可加性等）.能够根据勒贝格外测度的定义来证明性质和验证零测度集.
2、 了解勒贝格内测度（m* E）概念、勒贝格可测集的第一定义

（），理解对于区间I有及的结论.了解不可测集的存在性.
3、 掌握勒贝格可测集的第二定义：  对任意点集T:

成立.能够用第二定义证明某些集的可测性.了解可测集的第一、第二、定义的等价性.
4、 掌握可测集的两个充要条件定理.
5、 掌握两可测集之并为可测集定理，可列个可测集之并为可测集定理，并能够正确地证明它们.
6、 掌握两可测集之交为可测集定理，可列个可测集之交为可测集定理.
7、 掌握递增可测集列之极限可测定理及递减可测集列之极限可测定理.并能够正确证明它们,还要能够用反例说明后一个定理中的重要性.
8、 掌握波雷耳集,型集、型集等概念.能够根据概念正确判别具体集合是型集,还是型集.

9、 掌握可测集与开集及闭集的关系; 可测集与型集、型集的关系.

本章习题为75页2,5,6,7,8,9.

 

第四章 可测函数

1、 掌握全体有限实数R上、下确界+∞、-∞的概念，掌握R∪{±∞}内的四则运算的意义及法则.
2、 掌握可测函数的定义及其等价性定理.
3、 掌握定义在任意点集E上连续函数的概念及连续函数可测性定理.掌握简单函数的概念及其可测性叙述.
4、 掌握可测函数的性质（包括可测子集上的可测性，并集上的可测性，函数四则运算及取绝对值的可测性，可测函数列的上、下确界函数的可测性、上、下极限函数可测性、极限函数可测性等）
5、 掌握可测函数与简单函数关系定理.

6、掌握叶果洛夫定理的引理.

7、 掌握叶果洛夫定理和鲁津定理，能够对应地写出与某些可测函数的“基本上”相等的连续函数.
8、 掌握依测度收敛的概念，能够用实例说明依测度收敛与收敛概念的不同性.
9、 掌握黎斯定理及勒贝格测度收敛定理.掌握依测度收敛在几乎处处意义下的唯一性定理.能够应用相关定理证明一些简单命题.

本章习题为98-99页1,2,4,5,6,7,9,10,11.

 

第五章 积分论

1、 掌握可测分划D，关于D的Darboux大和及Darboux小和、有界函数F{x}在E上的上、下积分、在E上的（L）积分概念.掌握有界函数（L）可积的两个充分条件定理.
2、 掌握有界函数F(x)在[a.b]上（R）可积时（L）积分与（R）积分相等的定理并且能够正确地证明之.
3、 掌握有界函数的（L）积分的性质（包括和、差、积、商、取绝对值的可积性、可测子集上函数可积性、线性、不等号性质、绝对值放大性质，被积函数几乎处处为零的充分条件及绝对连续性.）
4、 掌握一般非负函数（L）积分概念，一般函数（L）积分概念.掌握一般函数积分确定时或可积时的全部性质.能够证明积分绝对连续性.
5、 掌握（L）可积函数是具有绝对可积性的结论，能够用函数是否（R）绝对可积来判别其是否（L）可积的.
6、 掌握积分的极限定理（包括L-控制收敛定理和推论，列维定理，L-逐项积分定理，积分可数可加性定理，法都引理、积分号下求偏导定理）并能应用这些定理证明题目.
7、 理解直积、截面和下方图形等概念及性质.理解截面定理、直积测度定理、非负可测函数积分的几何意义定理及其推论.
8、 掌握富比尼定理,能够用富比尼定理来检验函数的不可积性.

本章习题为142-143页3,4,5,6,7,9,10,11,12,15,16.

 

• 微分与不定积分

1、掌握有界变差函数概念、性质（包括可加性、有界性及代数运算性质）.掌握弧可求长的充要条件是曲线函数为有界变差的定理.能够根据定义证明函数是有界变差的.

2、掌握有界变差函数和连续函数的概念的相异性，能够举例子说明.

3、掌握约当分解定理并能够正确证明之.

4、掌握不定积分、绝对连续函数等概念及它们的关系定理.掌握绝对连续函数与其他函数类的关系.

• 掌握函数为常数的充分条件定理，关于变上限函数定理，函数为可积函数的不定积分定理和分部积分公式定理.能够正确地证明分部积分公式定理.
• 了解（S）积分概念、性质（包括双线性，积分区间可加性等），（S）积分存在定理.
• 掌握（S）积分（R）积分相等定理及（S）积分与（L）积分相等定理并能够正确地证明它们. 掌握（S）积分的分部积分公式定理.
• 了解勒贝格——斯蒂阶测度与积分.

本章习题为175页2,3,4,5,6.