【浙江】10025近世代数自学考试大纲

［10025］

近世代数自学考试大纲

浙江省高等教育自学考试办公室

二OO二年十二月

指定用书《近世代数基础》，张禾瑞著，高等教育出版社1978年5月第1版

总体要求

通过近世代数这门课程的学习，要求考生获得一定的近世代数的基础知识，受到代数研究方法的初步训练，提高辨证思维与逻辑推理能力，加深对中学数学的理解，并为进一步学习打下基础。

内    容

一、基本概念

(一)主要内容

1．集合、积集、幂集的概念；

2．映射的三要素，映射的合成，映射的可逆性；

3．代数运算，代数体系的概念；

4．同态映射、同构映射的定义和性质；

5．关系、等价关系与集合的分类等概念，以n为模的剩余类。

(二)基本要求

1．掌握代数运算的概念及一些常见例子；

２．熟记同态映射、同构映射的定义和—些常见的例子，初步掌握同态、同构的思想方法，并能具体用来解决一些简单问题；

3．掌握用等价关系对集合的元进行分类这一重要的代数方法，充分理解分类与等价关系的一致性，熟记一些常见例子。

 

二、群论

(一)主要内容

1．群的定义及其简单性质，有限群、无限群、可换群的概念，群中元的阶；

2．群的定义，子群的判定方法，生成元，循环群；

3．群的同态与同构；

4．变换群的概念，Cayley定理；

5．置换的定义、乘法及其性质，置换群、n次对称群的概念，每一个有限群都同构于一个置换群；

6．群的陪集的概念，Lagrange定理；

7．不变子群的概念，中心、商群的概念；

8．同态基本定理。

(二)基本要求

1．掌握群、群的同态、子群，不变子群、陪集、商群等概念；

2．掌握循环群的概念及其构造，能熟练求出循环群的全部子群，能利用循环群、群中元素的阶的知识论证一些简单问题；

3．掌握拉格朗日(Lgrange）定理(P69定理2)，理解凯莱(Cayley)定理(P49定理3)的作用及其证明方法；

4．掌握并理解群的同态基本定理(P75定理1与定理2)，能应用群的同态基本定理处理一些简单问题。

 

三、环和域

(一)主要内容

1．环、可换环，有单位元环，无零因子环和整环的概念；多项式环的概念；

2．除环和域的概念：域的特征；四元数除环；

3．子环和子域的概念，环的同态和同构；

4．理想、剩余类环的概念；环的同态基本定理；

5．商域的概念。

(二)基本要求

1．掌握各种类型的环的定义及其基本性质，熟记一些常见例子，能求矩阵环、剩余类环的零因子，单位元。

2．熟练掌握理想的概念及其常见例子；熟悉生成理想的概念，特别要熟练掌握主理想的概念及其元素的构成规律。

3．理解与掌握剩余类环，环的同态基本定理(P114定理1和定理2)的意义和作用，能求关于一个具体理想所决定的剩余类环。

 

四、整环里的因子分解

(一)主要内容

1．整环、相伴元、可逆元、素元和唯一分解环的定义；整环是唯一分解环的充要条件；最大公因子的定义及其存在唯一性定理；

2．主理想环的定义，主理想环是唯一分解环；

3．欧氏环的定义、欧氏环是主理想环；

4．唯一分解环上的多项式环仍是唯一分解环。

(二)基本要求

1．掌握唯一分解环、主理想环、欧氏环的概念以及它们之间的逻辑关系；

2．了解唯一分解环上的多项式环是唯一分解环。

 

五、扩域

(一)主要内容

1．素域、代数元、超越元、单扩域、极小多项式、代数扩域、扩域的次数等概念；

2．单扩域、代数扩域的结构定理；

(二)基本要求

1．理解和掌握扩域的概念和意义；

2．掌握代数元，超越元的概念；

3．理解添加的概念和意义，熟悉添加得到的扩张中的元素构成；

4．掌握极小多项式的定义和性质；

5．了解素域、单扩域、代数扩域的结构和性质。