【浙江】10021初等数论自学考试大纲

［10021］

初等数论自学考试大纲

浙江省高等教育自学考试办公室

二○○一年十一月

指定教材：《数论简明教程》，叶景梅等著，宁夏人民出版社，。1998年8月第1版

课程内容及考核要求

第一章  整数的整除性理论

一、课程内容

带余除法定理(§1定理1)；余数、整除的概念；整除性判断方法；

最大公因数、最小公倍数的概念；互素的概念；辗转相除法；与因数、倍数有关的定理；素数与合数的概念；〖WT4”BX〗素数P与一整数a〖WT4”BZ〗只有两种关系(§5定理1)；素因数的存在性(§5定理2)；素数集的无限性：Eratosthenes筛法；算术基本定理和标准分解式；费尔马数与梅森数〖WT4”BX〗Fn，Mn。〖WT4”BZ〗

二、考核要求  

1.掌握带余除法定理，掌握余数的概念；

2.熟悉整除概念，能解决简单的整除性判定问题；

3.掌握公因数、最大公因数的概念及相关的性质(§3定理1-7)，并特别注意定理3的运用；掌握互素及两两互素的概念及相关的性质(§3定理8-13)，特别注意利用定理8，10，11，12。例如，对于任意〖WT4”BX〗a，b∈Z，可设(a，b)=d，再令a=a1d，b=b1d，则(a1，b1)=1，于是可对a1，b1使用定理10-12；掌握倍数、最小公倍数的概念；两数最小公倍数与最大公因数之间的关系(§4定理1)。

4.掌握素数与合数的概念；除了2，3外，素数只能是4m±1，6m±1的形状的数；掌握§5定理1，定理2；根据〖WT4”BZ〗Eratosthenes〖WT4”BX〗筛法造简单的素数表；素数集无限性的证明，参考其方法证明形如4m-1的素数集的无限性；

5.掌握算术基本定理，熟悉一整数(＞1)的标准分解式，能运用它们解决一些具体命题；

6.对Fn=22n+1及Mn=2n-1有常识性的了解；

7.能解决一些简单的整数、素数、合数的判定命题；对于任意n，构造n个相继自然数全是合数的方法。

三、习题  

习题一  第2-7题

习题二  第1，3-10题

习题三  第1，9，10，14题

习题五  第1-6，9，10，16题

习题六  第1，3，4，5题

例题：§1例1-4，§2例1，3-8，§3例1，4-7，§5例1，2，§6例1

 

第二章  数论函数

一、课程内容  

函数［x］与｛x｝及其基本性质；可乘函数的定义；函数d(n)，σ(n)，φ(n)的定义及计算公式；函数μ(n)，π(x)的定义；切比雪夫(чe бЫше B)及素数定理的结论。

二、考核要求  

1.熟悉［x］与｛x｝及其基本性质，并解决有关的命题；能求n!中素因数ｐ的指数(§1定理1)；

2.熟悉d(n)，σ(n)，φ(n)的定义，了解它们是可乘函数，熟悉其计算公式；

3.熟悉μ(n)，π(x)的定义，能对具体的n或x，确定μ(n)或π(x)的值；

4.能写出切比雪夫不等式和素数定理。

三、习题

习题七  第1，2，4，6，7，8题

习题八  第1，3题

习题十  第1，2，6-11题

例题：§1例1，2，3；§2例1；§4例1，2.

 

第三章  同    余

一、课程内容  

同余的概念与基本性质；完全剩余系与简化乘余系的概念与性质；

欧拉(Euler)定理及其证明；费尔马(Fermat)定理；两个定理的应用；利用同余关系计算大数的余数。

二、考核要求  

1.掌握同余关系的概念及等价的另外两定义(§1定理1)；熟练掌握同余关系的基本性质(§1定理2-8)；熟练地进行同余计算；

2.掌握完全剩余系、简化剩余系的概念；§2定理1、定理2及其证明；

3.掌握欧拉定理及其证明；掌握费尔马定理；利用它们解决求余数、判断整除性等问题；

4.求一大数被某数除所得的余数。

三、习题

习题十一  第2-4，6，7，9题

习题十二  第1，2题

习题十三  第1-8题

例数：§1例1，2；§2例1，2；§3例1，2，4，5；§4例1，2.

 

第四章  一元同余方程

一、课程内容  

同余方程、同余方程组及其解的概念；一元一次同余方程有解的条件；一次同余方程组有解的条件；中国剩余定理；解一次同余方程、方程组；高次同余方程的解的个数、解法；威尔逊(Wilson)定理及其证明。

二、考核要求  

1.判断方程

ax+b≡0(mod m)是否有解，在有解时求出其解；

2.能把有解的一般一次同余方程组化为等价的同余方程组x≡c1 (mod m  1)x≡c2(mod m2)(1)……    ……x≡ck  (mod mk)这里m1，m2，…，mk两两互素(联系§3定理3).并利用中国剩余定理列表求解；

3.较简单的高次同余方程f(x)≡0  (mod Pa)的解法(§5定理2之证明过程)；

4.威尔逊(Wilson)定理及其证明。

三、习题

习题十五  第2，4题

习题十六  第1，3题

习题十七  第1-7题

习题十八  第2，3，5题

习题十九  第3，5题

例题：§1例1；§2例1，2，3；§3例1，2，3；§4例2.

 

第五章  不定方程

一、课程内容  

一次不定方程有整数解的条件及解法；方程ax+by=c的弗罗贝纽斯(Frobenius)问题的结论；解不定方程的一些初等方法；不定方程x2+y2=z2与x4+y4=z2；费尔马无穷递降法。

二、考核要求  

1.熟悉一次不定方程有整数解的条件。在有解的情况下，求ax+by=cax+by+cz=m的解(整数解，正整数解等)；

2.熟悉§2所列各种初等方法(第7段方法不要求)；

3.熟悉不定方程x2+y2=z2，(x，y)=1，x，y，z＞0，2｜x的解；

4.不定方程x4+y4=z2，x，y＞0无整数解的证明；

5.能用无穷递减法解决一些简单的命题；

6.对Frobenius问题、Fermat猜想有常识性的了解。

三、习题  

习题二十  第1-3，6，8题

习题二十一  第1-16题

习题二十二  第1，2题

习题二十三  第7，8(1)题

例题：§1例1，2，3，§2例1-7，§3例1，§4例1.

 

第六章  二次同余方程与平方剩余

一、课程内容  

平方剩余与平方非剩余的概念；欧拉判别条件；勒让德(Legendre)、雅可比(Jacobi)符号的定义与性质及计算，反转定律；用高斯逐步淘汰法解同余方程〖WT4”BX〗x2=a(mod p)，(a，p)=1，p＞2。

二、考核要求  

1.掌握平方剩余、平方非剩余的概念，了解欧拉判别条件；

2.熟悉勒让德符号、雅可比符号的定义、意义、基本性质及反转定律，并计算其值；

3.证明形如4m+1的素数集的无限性(§2例1，P.134)；

4.判定x2=a(mod p)是否有解，在有解的情况下，能用高斯(Gauss)逐步淘汰法求解。

三、习题  

习题二十五  第1题

习题二十六  第1，2题

习题二十七  第1，2题

习题二十八  第1-5题

例题：§2例1，2，§3例1，2，§4例1，§5例2.