【江苏】自考27961高等数学考试大纲

高纲1882

江苏省高等教育自学考试大纲

27961  高等数学

南京工程学院编（2021年）

江苏省高等教育自学考试委员会办公室

Ⅰ  课程的性质及其设置的目的和要求

一、课程的性质、目的和任务：

“高等数学”工科各专业自学考试计划中的一门重要的基础理论课程，是学好后续课程的必修课。它作为工程教育中的一个重要内容，目的在于培养工程技术人员必备的基本数学素质。通过本课程的学习，使学生理解微积分中极限、导数、积分等基本概念；掌握基本的运算技巧；使学生能用所学的知识去解决各种领域中的一些实际问题；训练学生数学推理的严密性，使学生具有一定的数学修养和对实际问题具有抽象、归纳、推广的能力，能用数学的语言描述各种概念和现象，能理解其它学科中所用的数学理论和方法；培养学生学习数学的兴趣，帮助学生养成自学数学教材和其它数学知识的能力，为以后学习其它学科打下良好的基础。

二、课程的基本要求与重点

本课程的基本要求为:

1. 获得向量代数和空间解析几何的初步知识。
2. 获得一元函数微积分学的系统的基本知识、基本理论和基本方法。

本课程的重点是：一元函数的导数和积分的概念、计算及其应用。

在学习过程中，要求考生在通读教材、理解和掌握所学基本原理知识及基本方法的基础上，结合习题进行练习，提高分析问题和解决问题的能力。

Ⅱ  考核目标

本课程自学考试大纲在考核目标中，按照识记、领会、简单应用和综合应用四个层次规定其应达到的能力层次要求。四个能力层次是递升的关系，后者必须建立在前者的基础上。各能力层次的含义是：

识记（Ⅰ）：要求考生能够识别和记忆本大纲中规定的有关知识点的主要内容（如定义、概念、公式、原理、重要结论、方法及特征、特点等），并能够根据考核的不同要求，做出正确的表述、选择和判断。

领会（Ⅱ）：要求考生能够领悟和理解本大纲中规定的有关知识点的内涵及外延，熟悉其内容要点和它们之间的区别与联系，并能正确地解释说明和论述。能根据考核的不同要求对有关问题进行逻辑推理和论证，做出正确的解释、叙述和说明。

简单应用（Ⅲ）：要求考生能够运用本大纲中规定的部分知识点，解决简单的计算、证明或应用问题。

综合应用（Ⅳ）：要求考生能够运用本大纲中规定的多个知识点，分析、计算或推导稍复杂一些的应用问题。

Ⅲ  课程内容与考核要求

第一章  空间解析几何 向量代数

一、学习目的与要求

空间解析几何是在平面解析几何的基础上发展起来的，主要是在空间直角坐标系中研究数和形结合的基本问题；向量代数是以向量为工具，用代数方法研究几何问题，应深刻理解向量的基本概念及几何意义。

通过本章的学习，使学生了解曲面方程和空间曲线方程的概念，理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积）；了解两个向量垂直、平行的条件；掌握平面方程及其求法。

二、课程内容

 曲面方程和空间曲线方程的概念；向量的概念及其运算；平面方程的概念及其求法。

三、考核的知识点

1. 常见曲面、曲线方程
2. 向量的概念、向量的线性运算
3. 平面方程

四、考核要求

1. 识记

曲面方程和空间曲线方程的概念

2．领会

向量的概念及其运算

3. 简单应用

平面方程及其求法

五、本章重点和难点

重点：向量的运算、平面方程及其求法

难点：向量的向量积及其运算律

第二章　函数 极限 连续

一、学习目的和要求

函数是高等数学中最基本的概念之一，它从数学上反映各种实际现象中量与量之间的依赖关系，是微积分的主要研究对象；极限理论是微积分学的基础，微积分中的基本概念都是借助极限方法描述的；连续函数是使用最为广泛的函数，所以学好本章为以后的学习奠定必要的基础。

通过本章的学习，使学生理解一元函数的定义及函数与图形之间的关系；了解函数的几种常用表示法；理解函数的反函数及它们的图形之间的关系；熟悉基本初等函数及其图形的性态；掌握函数的复合和分解；知道什么是初等函数；理解函数的几种简单形态；能对比较简单的实际问题建立其中蕴含的函数关系；理解极限和无穷小量的概念，知道它们之间的关系；熟悉掌握极限的运算法则；掌握无穷小量的基本性质；清楚无穷大量的概念及其与无穷小量的关系；能熟悉运用两个重要极限；理解无穷小量的比较和高阶穷小量的概念；理解函数的连续性和间断点；知道初等函数的连续性；清楚闭区间上连续函数的基本性质；了解二元函数的概念。

二、课程内容

一元函数、极限、函数的连续性、二元函数的基本概念；函数的简单形态；数列的极限；函数的极限及运算法则；两个重要极限；无穷小量的比较；闭区间上连续函数的基本性质。

三、考核的知识点

1. 一元函数的定义及其图形
2. 函数的表示法
3. 函数的简单形态
4. 函数的复合与分解
5. 初等函数.
6. 简单函数关系的建立.
7. 数列及其极限.
8. 函数极限及其运算法则和两个重要极限.

10.无穷小量及其性质和无穷大量.

11.无穷小量的比较.

12.函数的连续性概念和连续函数的运算.

13.函数的间断点.

14.闭区间上连续函数的性质.

四、考核要求

1. 识记

函数的表示法

2．领会

2.1一元函数的定义及其图形

2.2数列及其极限

2.3闭区间上连续函数的性质

3. 简单应用

3.1函数的几种简单形态

3.2简单函数关系的建立

3.3初等函数的构成

3.4无穷小量及其性质和无穷小量的比较

3.5函数的连续性和连续函数的运算

4. 综合应用

4.1函数的复合运算的含义及可复合的条件，复合函数的定义域，复合函数的分解

4.2极限的运算法则和两个重要极限

五、本章重点和难点

重点：极限和无穷小量的概念，极限的运算法则，两个重要极限及其应用，函数的连续性

难点：极限概念

 

第三章　微分学

一、学习目的和要求

函数的导数和微分是由于解决实际问题（如求曲线的切线和运动的速度等）的需要而建立起来的，是微分学中最重要的概念，这两个概念密切相关，它们在科学和工程技术中有极为广泛的应用。

通过本章的学习，使学生理解导数和微分的定义，清楚它们之间的关系；知道导数的几何意义和作为变化率的实际意义；知道平面曲线的切线方程和法线方程的求法；理解函数可导与连续之间的关系；熟练掌握函数求导的各种法则，特别是复合函数的求导法则；熟记基本初等函数的求导公式并能熟练地运用各种求导法则计算函数的导数；清楚高阶导数的定义；熟练掌握微分的基本公式和运算法则。知道微分中值定理；熟练掌握求各种未定式的极限的洛必达法则；会用导数的符号判定函数的单调性；理解函数的极值概念并掌握其求法；清楚函数的最值及其求法并能解决简单的应用问题；了解曲线的凹凸性和拐点的概念，会用函数的二阶导数判定曲线的凹凸性和计算拐点的坐标，会求曲线的水平和铅直渐近线。

二、课程内容

导数、微分的概念；导数和微分的求法；导数的应用。

三、考核的知识点

1. 导数的定义及其几何意义
2. 平面曲线的切线和法线
3. 函数可导与连续的关系
4. 导数的四则运算法则
5. 复合函数微分法
6. 参数方程所表示的函数的微分法
7. 隐函数微分法
8. 高阶导数

10.多元函数的偏导数

11.函数单调性的判定和极值与最值的求法

12.曲线的凹凸性判断和拐点的求法

13.曲线的渐近线

14.未定型的极限 洛必达法则

四、考核要求

1. 识记

多元函数的偏导数及其应用

2．领会

2.1导数的定义及其几何意义和实际意义

2.2函数可导与连续的关系

2.3高阶导数

2.4曲线的渐近线

3. 简单应用

3.1平面曲线的切线和法线

3.2参数方程所表示的函数的微分法

3.3 隐函数微分法

3.4函数单调性的判定

3.5曲线的凹凸性和拐点

4. 综合应用

4.1可导函数的和、差、积、商的求导法则　

4.2复合函数微分法

4.3洛必达法则

4.4函数的极值及其求法

4.5函数的最值及其应用

五、本章重点和难点

重点：导数和微分的定义及其相互关系；导数的几何意义和作为变化率的实际意义，函数的微分法；洛必达法则的应用；函数单调性的判定；函数的极值、最值的求法和实际应用

难点：复合函数微分法，函数最值的应用

第四章  积分学

一、学习目的和要求

一元函数积分学是微积分学的号一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，而定积分则源于曲边图形的面积计算和已知物体运动的速度求行走的路程等实际问题，与微分学一样，积分学也有广泛的应用。

通过本章的学习，使学生理解原函数和不定积分的概念，清楚微分运算和不定积分运算之间的关系；理解定积分的概念及其几何意义，熟悉不定积分和定积分的基本性质；了解定积分的积分中值定理；理解变上限积分及其求导公式；掌握牛顿—莱布尼茨公式；熟记基本积分公式；熟练掌握不定积分和定积分的变量置换法和分部积分法，并能熟练地运用它们计算不定积分和定积分；清楚无穷区间和无界函数反常积分的定义，在比较简单的情况下会依据定义判别它是否收敛并在收敛时求出其值；会用定积分解决较简单的几何问题和实际问题。

二、课程内容

不定积分和定积分的概念，不定积分和定积分的计算，定积分的应用。

三、考核的知识点

1.原函数和不定积分的概念及不定积分的基本性质

2.基本积分公式

3.不定积分的变量置换积分法

4.不定积分的分部积分法

5.定积分概念及其几何意义

6.定积分的基本性质和中值定理

7.变上限积分与牛顿—莱布尼茨公式

8.定积分的变量置换积分法和分部积分法

9.反常积分

10.定积分的几何应用

四、考核要求

1. 识记

积分中值定理

2．领会

2.1原函数和不定积分概念及不定积分的基本性质

2.2定积分概念及其几何意义

2.3定积分的基本性质

3. 简单应用

3.1不定积分的变量置换积分法和分部积分法

3.2定积分的变量置换积分法和分部积分法

3.3 反常积分

4. 综合应用

4.1变上限积分与牛顿—莱布尼茨公式　

4.2定积分的几何应用

五、本章重点和难点

重点：不定积分和定积分的概念及其计算，变上限积分与牛顿—莱布尼茨公式，定积分的应用

难点：求不定积分，定积分的应用

第五章   微分方程

一、学习目的和要求

微分方程的理论和方法几乎是与微积分同时发展起来的，具有广泛的实际应用。

通过本章的学习，使学生了解微分方程及其阶、解、通解、初值条件和特解等概念；掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法；理解线性微分方程解的性质及解的结构，了解二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

二、课程内容

微分方程的概念，可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的解法，二阶线性微分方程解的结构及二阶线性常系数齐次微分方程的解法。

三、考核的知识点

1.微分方程的基本概念

2.可分离变量的微分方程

3.一阶线性微分方程

4.二阶常系数齐次线性微分方程

四、考核要求

1. 识记

高阶线性常系数微分方程

2．领会

2.1微分方程的基本概念

2.2可分离变量的微分方程的解法

2.3一阶线性微分方程的解法

• 本章重点和难点

重点：一阶线性微分方程及其解法，二阶线性常系数齐次微分方程及其解法

难点：二阶线性常系数齐次微分方程及其解法

第六章   无穷级数

一、学习目的和要求

无穷级数是高等数学课程的重要内容，它以极限理论为基础，是研究函数的性质和进行数值计算方面的重要工具。

通过本章的学习，使学生理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件；掌握几何级数收敛与发散的条件；掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法；掌握交错级数的莱布尼茨判别法；了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系；了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数。

二、课程内容

常数项级数收敛与发散的概念及其性质，正项级数收敛性，任意项级数的绝对收敛与条件收敛，幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域、幂级数的和函数，函数展开为幂级数。

三、考核的知识点

1.常数项级数收敛与发散的概念及其性质

2.正项级数收敛性的判别法

3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛

4.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域、幂级数的和函数

5.函数展开为幂级数

四、考核要求

1. 识记

幂级数在其收敛区间内的基本性质

2．领会

2.1常数数项级数的基本概念

2.2幂级数

3. 简单应用

3.1正项级数的收敛性

五、本章重点和难点

重点：判断数项级数的敛散性、幂级数求和、函数展开为幂级数

难点：幂级数求和，函数展开为幂级数

Ⅳ   关于大纲的说明与考核实施要求

一、自学考试大纲的目的和作用

《高等数学（工专）》课程自学考试大纲是根据工科各专业自学考试计划的要求，结合自学考试的特点而确定，其目的是对个人自学、社会助学和课程考试命题进行指导和规定。

本课程自学考试大纲明确了课程学习的内容以及深度、广度，规定了课程自学考试的范围和标准。 因此，它是编写自学考试教材和辅导书的依据，是社会助学组织进行自学辅导的依据，是自学者学习教材、掌握课程内容知识范围和程度的依据，也是进行自学考试命题的依据。

在自学本课程之前应先通读大纲，了解课程的内容、考核知识点和考核要求. 明确考核目标，使自学应考者有的放矢地、系统地学习教材；使辅导教师更好地组织教学内容；使命题教师能够更加明确命题范围，更准确地安排试题的知识能力层次和难易程度. 本大纲要求学习和掌握的知识点都可作为考核的内容。

二、课程自学考试大纲与教材的关系

课程自学考试大纲是进行学习和考核的依据，教材是学习掌握课程知识的基本内容与范围，教材的内容是大纲所规定的课程知识和内容的扩展。课程内容在教材中可以体现一定的深度或难度，本大纲中对考核的要求是按照本专业的培养目标，以及对考生知识结构要求和专业考试计划来确定的，深度或难度较适当。

大纲与教材所体现的课程内容应基本一致，本大纲的课程内容和考核知识点是与所选教材一致的.所选教材里的部分内容，本大纲不作考核要求。（注：其中的内容与大纲要求不一致的地方，以大纲规定为准。）

三、关于自学教材

自学教材：《高等数学》（简明版）第6版，盛祥耀主编，高等教育出版社，2021年版。

四、关于自学要求和自学方法的指导

本大纲的课程基本要求是依据专业考试计划和专业培养目标而确定的。课程基本要求还明确了课程的基本内容，以及对基本内容掌握的程度。基本要求中的知识点构成了课程内容的主体部分，因此，课程基本内容掌握程度、课程考核知识点是高等教育自学考试考核的主要内容。

为有效地指导个人自学和社会助学，本大纲已指明了课程的重点和难点，在章节的基本要求中一般也指明了章节内容的重点和难点。

本课程共7学分，均为理论课程。

在自学过程中应注意以下几点：

1．根据考核要求中的四个能力层次，在全面系统学习的基础上掌握重点概念和重点问题，注意各章内容之间的内在联系。

2．本课程的自学考试大纲是自学本课程的主要依据，在自学本课程前应先通读大纲，了解课程的要求，获得课程完整的概貌.在开始自学某一章时，先阅读大纲，了解该章的课程内容，考核知识点和考核要求，再依据要求进行学习。

3．阅读教材时，要求吃透每个考核知识点.对基本概念要做到深刻理解，对基本原理要弄清弄懂，对基本方法要熟练掌握。

4．重视每章的习题，多做习题可以帮助考生更好地达到自考大纲的要求，并可以检查考生对知识的掌握程度。

5．考生在自学时要注意基本能力的培养，即理解知识的能力、分析问题的能力、系统分析和综合的能力等。

五、对社会助学的要求

1．社会助学指导教师应熟悉本大纲所要求的内容、考核知识点和考核要求，辅导内容必须以本大纲为依据，切实作好对自学应考者的辅导，防止自学中的各种偏向，把握社会助学的正确导向。

2．注意自学考试的特点，命题将覆盖各章，特别是本大纲规定的重点，不可随意增删和圈定重点以免导向失误.本大纲课程内容和考核知识点不作要求的内容则不考。

3．注意培养考生的自学能力，以及分析、设计及应用的能力，努力引导自学应考者将识记、领会与应用联系起来，把知识和理论转化为能力，着重培养和提高自学应考者的分析问题和解决问题的能力。

六、应考指导

1.如何学习.很好的学习计划和组织是成功的法宝.在接受培训学习的过程中，一定要跟紧课程并完成作业.为了在考试中作出满意的回答，必须对所学课程内容有很好的理解。阅读课本时要做课程笔记，如有需要重点注意的内容，可以用彩笔来标注，如：红色代表重点，绿色代表还未理解需要深入研究的知识点，黄色代表可以运用在实际工程之中等。

2.如何考试.首先要认真审题，抓住重点回答问题，避免答非所问。其次，卷面要书写工整，保持卷面整洁，避免因卷面字迹不清导致阅卷教师看不清而失分。

3.如何处理紧张情绪.正确处理对失败的惧怕，要正面思考，考前要调整好心态，要对自己充满信心。进入考场后做深呼吸放松，缓解紧张情绪，保持冷静。

七、对考核内容的说明

本课程大纲中要求考生学习和掌握的知识点都作为考核的内容。课程中各章内容均由若干知识点组成，在自学考试中即为考核知识点。由于各知识点在课程中的地位、作用以及知识自身的特点不同，自学考试将对各知识点分别按四个认知（或叫能力）层次确定其考核要求。

八、关于考试命题的若干规定

1.考试采用闭卷方式，考试时间为120分钟。试卷一律用黑色签字笔书写，作图可用铅笔和直尺。

2.本大纲各章所规定的基本要求、知识点及知识点下的知识细目，都属于考核的内容。

3.命题不应有超出大纲中考核知识点范围的题目，考核目标不高于大纲中所规定的相应的最高能力层次要求。命题应着重考核自学者对基本概念、基本知识和基本理论是否了解或掌握，对基本方法是否会用或熟练。

4.本课程在试卷中对不同能力层次要求的分数比例大致为：识记占20%，领会占35%，简单应用占35%，综合应用占10%。

5.要合理安排试题的难易程度，试题的难度可分为：易、较易、较难和难四个等级.每份试卷中不同难度试题的分数比例一般为：20:45:25:10。必须注意试题的难易程度与能力层次有一定的联系，但二者不是等同的概念.在各个能力层次中对于不同的考生都存在着不同的难度.在大纲中已特别强调这个问题，考生切勿混淆。

6.本课程考试命题的主要题型一般有选择题、填空题、简单计算题、计算题综合题等题型。

附录  题型举例

一、单项选择题

1． 设，，则f []=

A．-2 B．

C．0 D．

2.下列反常积分收敛的是

A． B．

C． D．

二、填空题

3．函数y=的定义域是   ▲   .

4．设y=ln sin x，则y″=   ▲   .

三、简单计算题

5．求不定积分

四、计算题

6．设方程y²-2xy+9=0确定了隐函数y=y（x），求

五、综合题

7．设平面图形由y=e^x，y=e，x=0所围成，求此平面图形的面积.