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高等几何自学考试大纲
浙江省教育考试院
2010年12月
指定用书：《高等几何》，朱德祥，朱维宗编，高等教育出版社2007年7月第2版
Ⅰ.课程性质和学习目的
高等几何是高等师范数学专业基础课程之一，一般包含射影几何与几何基础两部分。它是在已学过初等几何、解析几何与高等代数的基础上来系统地研究射影几何的基本知识，明确射影空间的基本特征和研究方法，以及射影空间与仿射空间、欧氏空间的内在联系，从而发展几何空间的概念。而几何基础是从几何公理体系方面研究几何空间，懂得现代公理体系的构成和几何空间的多样性。从而能更深入地掌握初等几何与解析几何知识，为进一步学习现代数学作准备。
Ⅱ.课程内容及考核要求
射影几何学
第一章 仿射几何学的基本概念
本章是在欧氏几何的基础上介绍仿射几何的基本概念，研究有关平行射影和仿射变换的有关知识，它是从欧氏几何过渡到射影几何的桥梁。
一、考核要求
1.明确平行射影、透视仿射对应、仿射对应、简比、同素性、仿射不变性、仿射不变量、仿射坐标系，仿射图形等概念；
2.明确仿射变换的三个等价定义；
3.理解并掌握仿射变换的主要不变量和不变性质；
4.理解并掌握仿射几何的基本定理(不共线的三对对应点决定唯一的仿射变换)；
5.会作一图形的仿射对应图形；
6.能利用仿射图形的性质证明某些初等几何问题。
二、课程内容
1.平行射影与仿射对应；
2.仿射不变性与不变量；
3.平面到自身的透视仿射；
4.平面内的一般仿射；
5.仿射变换的代数表示。
第二章 欧氏平面的拓广
本章在于改造欧几里德空间，而构成射影空间，以及它的元素的关系，由于我们研究的对象是射影几何，首先就必需通过中心射影法。
一、考核要求
1.明确射影直线，中心投影(透视)，射影平面、仿射平面等概念；
2.明确非齐次坐标和齐次坐标，点坐标和线坐标，点几何与线几何，直线的方程，点的线方程等概念；
3.理解与掌握射影平面上的对偶元素和平面射影几何的对偶原理；
4.了解复元素的意义；
5.能根据已知条件列出直线方程和点的坐标；能叙述已知命题的相应的对偶命题；会作出已知图形的对偶图形。
二、课程内容
1.中心投影(透视)与理想元素；
2.齐次坐标；
3.对偶原理；
4.复元素。
第三章 一维射影几何学
本章讨论的对象是一维几何图形，具体说就是点列和线束，重点在于点列和线束的射影不变量。
一、考核要求
1.掌握和理解已知两点A(a)、B(b)连线上的任一点的M(x)的表示 x=λa+μb，以及对偶图形线束的类似表达式；
2.掌握和理解基本射影不变量——交比的定义和性质；交比的坐标表示，以及对偶图形线束的交比；
3.掌握一维射影对应表达式，以及几何特性(两个一维基本图形成射影对应的充要条件)；
4.明确Von staudt定理的意义，掌握两个点列之间的射应对应式；
5.明确透视、透视链的概念；明确透视对应与射影对应的区别；两个射影点列(线束)成透视的充要条件；
6.会作已知两成射影点列的三对对应点，求第四对应点，以及对偶图形线束的类似作法；
7.会作已知一直线上三点A、B、C，求第四点使交比 (ABCD)=λ(定数)；
8.明确对合对应的有关概念，对合的表达式，以及对合由两对不同的对应元素唯一决定等定理。
二、课程内容
1.平面内的一维基本图形：点列和线束；
2.点列的交比；
3.线束的交比；
4.一维射影对应；
5.透视对应；
6.对合对应。
第四章 德萨格定理、四点形与四线形
本章所研究的射影几何，重点是德萨格定理，完全四点形和完全四线形的调和性质，以及帕普斯定理，它们是研究射影几何中二次曲线的基础，也是运用于证明初等几何某些命题的根据。
一、考核要求
1.理解与掌握德萨格(Desargues)定理及逆定理，运用它于证明初等几何的共点线和共线点问题，以及有关的几何作图；
2.理解与掌握完全四线形的调和性质，运用它于证明共点线和共线点问题，以及会求第四调和点的作图问题；
3.明确帕普斯(Pappus)定理以及有关的几何作图。
二、课程内容
1.德萨格三角形定理；
2.完全四点(角)形与完全四线(边)形；
3.帕普斯定理。
第五章 射影坐标系和射影变换
本章研究的射影坐标和射影变换是作为研究射影几何的代数工具。一维射影坐标系和平面射影坐标系都是以不变量交比为基础的坐标系。射影变换是从点变换和线变换的角度出发，来研究二维射影变换的基本不变量和不变元素。
一、考核要求
1.明确一维射影坐标系中基点，单位点等概念，掌握表达直线上任一点P的射影坐标，以及对偶线束的坐标表示；
2.理解和掌握射影坐标与笛氏坐标的转换；
3.明确平面内射影坐标系的建立，掌握用射影坐标系证明射影几何的命题；
4.明确点变换与坐标变换的关系；明确点与点之间变换关系；直线与直线的变换关系；
5.明确二维射影几何基本定理，会求二重点和二重直线；
6.了解变换群的概念，以及变换群与几何学的关系。
二、课程内容
1.一维射影坐标系；
2.平面内的射影坐标系；
3.射影坐标的特例；
4.坐标转换；
5.射影变换；
6.二维射影几何基本定理；
7.射影变换的二重元素（或固定元素）；
8.射影变换的特例；
9.变换群；
10.变换群的例证；
11．变换群与几何学。
第六章 二次曲线的射影性质
本章运用射影坐标系和射影变换，研究二次曲线的射影性质。
一、考核要求
1.明确二阶曲线与二级曲线的代数定义和射影定义；
2.理解与掌握帕斯卡定理和布利安双定理以及它们的逆定理及其应用；
3.明确二次曲线的极与极线、配极对应等概念；能几何作图求作关于二次曲线的极点或极线；能用代数方法求关于二次曲线的极点坐标或极线方程；
4.了解二次曲线的射影分类，以及自极三角形、奇异点等概念。
二、课程内容
1.二阶曲线与二级曲线；
2.二次曲线的射影定义；
3.帕斯卡与布利安双定理；
4.关于二次曲线的极与极线；
5.配极对应；
6.二次曲线的射影分类。
第七章 二次曲线的仿射性质
本章把仿射几何中的常态二次曲线作为射影几何的子几何看待，研究二次曲线的仿射性质(中心、直径、渐近线)，以及二次曲线的仿射分类。
一、考核要求
1.明确二次曲线中心、直径、共轭直径、渐近线等概念，能求已知二次曲线的中心的坐标，以及直径，渐近线的方程；
2.明确和掌握二次曲线的仿射分类。
二、课程内容
1.二次曲线的中心和直径；
2.二次曲线的渐近线；
3.二次曲线的仿射分类。
4.例题
第八章 二次曲线的度量性质
本章把二次曲线的度量性质，作为仿射几何的子几何看待，主要介绍迷向直线、拉格儿公式，二次曲线的主轴和焦点。并且将有关概念与解析几何相对照，说明它们的一致性。
一、考核要求
1.明确圆点、迷向直线、迷向方向等概念；
2.理解与掌握迷向直线和圆点的几个重要定理。明确拉格儿定理的意义，懂得从射影几何学观点去讨论圆的性质；
3.明确主轴和焦点等概念，懂得两个实焦点就是解析几何中的普通焦点，两个实准线就是解析几何中的普通准线。
二、课程内容
1.圆点；
2.主轴与焦点。
几何基础
第九章 几何基础简介
几何基础是高师高等几何课程的一部分。本章只是介绍几何基础的一些常识。
一、考核要求
1.了解几何学发展的四个时期，罗巴切夫斯基几何发现的重大意义；
2.了解什么是欧几里德的第五公设问题；了解欧氏《几何原本》的缺陷；
3.了解什么是等价命题；懂得一些与欧氏第五公设等价命题与其证明；
4.了解希尔伯特的几何公理体系以及几何公理体系的三大基本问题.
二、课程内容
1.几何发展简史；
2.欧几里德的第五公设问题；
3.第五公设等价命题；
4.近代公理法的产生及希尔伯特公理体系；
5.几何公理体系的三个基本问题.
高等几何自学考试题型结构与举例题型举例(考试大纲中题型举例仅作参考，实际命题时不受此限)
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)
已知A,B,C,D四点是调和点列，任意调整它们次序后所得交比不会出现的是( )
A.1 B.2 C.-1 D.
二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)
两点-3u1+u2+2u3=0,2u1–u2+3u3=0连线的坐标是_________.
三、计算题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)
求使三点A(0,0),B(1,1),C(1,-1)变到三点A′(1,1),B′(3,1),C(1,-1)的仿射变换.
四、作图题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
已知二阶曲线上五点A,B,C,D,E,求作该曲线上点A处的切线.
五、证明题(本大题共3小题，第19小题和第20小题各10分，第21小题8分，共28分)
设三条定直线l1,l2,l3共点于M,A与B为二定点,其连线通过M.又R为l3上的动点,且RA,RB分别交l1,l2于P,Q,证明PQ必过AB上一定点.
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