【浙江】10002常微分方程自学考试大纲

[10002]  

常微分方程自学考试大纲

浙江省教育考试院

二OO九年十二月

指定用书：《常微分方程》，王高雄等编，高等教育出版社2006年7月第3版

参考教材：1、《常微分方程教程》(第二版),丁同仁等编，高等教育出版社，2004.7.

2.《常微分方程》，伍卓群等编，高等教育出版社，2004.1.

一、课程性质与设置目的要求

• 课程的性质

《常微分方程》是全国高等教育自学考试数学与应用数学专业的必考课程，它是数学分析，高等代数和解析几何的应用和发展。通过学习不仅可加深对这三门课的理解，而且为后继的数学课程学习奠定基础。

• 课程的设置目的要求

(１)  通过本课程的学习，使自学应考者正确掌握常微分方程的各种基本概念和处理常微分方程问题的思维方法，诸如定性和定量近似求解思想。

　 (２)  通过本课程的学习，使自学应考者熟练掌握可用来求解常微分方程的为数不多的方法，包括各种初等解法和线性常系数方程的解法，以及了解定性和稳定性的初步理论和方法。

二、考核目标

第一章  绪论

(一)、学习目的和要求

正确掌握微分方程，通解，线性与非线性，积分曲线，定解问题等基本概念。

(二)、考核知识点

• 常微分方程模型
• 基本概念和常微分方程的发展历史

(三)、考核要求

• 了解微分方程与客观世界中某些实际问题的关系
• 掌握微分方程中线性与非线性、通解与特解等基本概念
•  

第二章  一阶微分方程的初等解法

(一)、学习目的和要求

熟练掌握分离变量法，常数变易法，积分因子法等初等解法，较好掌握一阶隐式微分方程的解法。节胜利

(二)、考核知识点

• 变量分离方程与变量变换
• 线性微分方程与常数变易法
• 恰当微分方程与积分因子
• 一阶隐式微分方程与参数表示

(三)、考核要求

1、能正确的识别一阶微分方程的类型

2、掌握变量分离方程、齐次方程及可化为变量分离方程的解法

• 掌握常数变易法、贝努利方程的解法
• 掌握恰当方程的解法及利用积分因子解微分方程
• 掌握可以解出y（或x）的一阶隐式微分方程以及不显含变量y（或x）的一阶隐式微分

方程的解法

 

第三章 一阶微分方程解的存在定理

(一)、学习目的和要求

理解解的存在与唯一性定理，会用皮卡逼近法求近似解，理解解对初值的连续性定理、解对初值的可微性定理的条件和结论。

(二)、考核知识点

• 解的存在唯一性定理与逐步逼近法
• 解的延拓
• 解对初值的连续性和可微性定理

(三)、考核要求

• 理解和掌握解的存在唯一性定理及其证明
• 会求方程的近似解并估计其误差
• 了解解的延拓定理
• 了解解对初值的连续依赖定理和解对初值可微性定理

 

第四章  高阶微分方程

(一)、学习目的和要求

掌握高阶线性微分方程的性质及其通解结构，常数变易法，高阶常系数线性微分方程的解法。

(二)、考核知识点

• 线性微分方程的一般理论
• 常系数线性微分方程的解法
• 高阶微分方程的降阶和幂级数解法

(三)、考核要求

• 掌握齐线性微分方程解的性质和通解的结构
• 熟练地掌握常系数线性微分方程的解法
• 会求欧拉方程的通解
• 掌握高阶微分方程的降价和幂级数解法

 

第五章 线性微分方程组

(一)、学习目的和要求

掌握线性微分方程组的通解结构定理，会求常系数线性方程组的解。

(二)、考核知识点

• 存在唯一性定理
• 线性微分方程组的一般理论
• 常系数线性微分方程组

(三)、考核要求

• 理解解的存在唯一性定理
• 掌握线性微分方程组通解的结构，会用常数变易法求非齐线性微分方程组的一个解向量
• 会求常系数线性方程组的基解矩阵及expAt

 

第六章  非线性微分方程和稳定性

(一)、学习目的和要求

理解稳定性理论的一些基本概念，V函数方法，会判别奇点的类型。

(二)、考核知识点

• 稳定性
• V函数方法
• 奇点

(三)、考核要求

• 理解稳定性的概念
• 掌握Hurwitz判别法则
• 会用V函数方法判定非线性方程组零解的稳定性
• 会判别奇点的类型

三、题型举例（题型举例仅供参考，实际命题时不受此限，考试时间为150分钟）

 (一) 填空题(本大题共12小题，每空3分，共36分)

1、方程=y+e^2x的通解为__________.

(二) 计算题(本大题共8小题，每小题6分，共48分)

• 如果矩阵A=，试求expA

(三) 证明题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)

1、试导出并证明方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0具有形如μ=μ(x)积分因子的充要条件.