【浙江】06604高等数学(四)自学考试大纲

[06604]

高等数学（四）自学考试大纲

浙江教育考试院

2017年12月

自学用书：《高等数学》, 吴赣昌主编，中国人民大学出版社2017年第4版

一、 课程性质与设置目的要求

《高等数学》课程是全国高等教育自学考试理工类、经管类、金融类与医药类等专业的公共基础课程。由于数学与其它学科之间的交叉、渗透与相互作用，使高等数学成为很多专业的先修基础课程。

《高等数学》教材内容共分八大块。函数与极限论主要包括五大类的基本初等函数以及函数(数列)极限的定义与运算；微分学部分包括导数与微分的概念及导数的应用；积分学部分包括不定积分与定积分的定义、计算及应用；空间几何部分包括空间向量的运算与空间直线与平面的表示方法；多元函数微积分部分包括了多元函数的极限、微分与积分计算；级数部分包括常数项级数与幂级数的定义与收敛性判断；微分方程包括了一阶微分方程与二阶微分方程的解法；拉普拉斯变换包括该变换的基本概念、性质及应用。

《高等数学》是一门内容较难、较广但同时又是很重要的一门基础课程，在自学考试命题中应充分体现本课程的性质和特点。

设置本课程的目的是：不断培养和提高自学应考者的抽象思维、逻辑推理和解决实际问题的能力，以及为后继专业课程的学习打下扎实的数学基础。

学习本课程的要求是：自学应考者能够理解本课程中出现的各种定义、能掌握基本的解题方法、能够进行简单的应用。

二、考核内容及目标

第１章 函数、极限与连续

一、学习目的和要求    

通过本章的学习，掌握五大类基本初等函数的表示、性质；理解极限概念，掌握极限的运算；会利用等价量代换求极限；理解函数连续的定义，会判断函数在某点的连续性。

二、考核知识点

  （一）函数的概念、表示与性质；

  （二）数列极限、函数极限；

  （三）无穷小与无穷大；

（四）连续函数与连续函数的性质.

三、考核目标要求     

（一）理解函数的概念，掌握函数的（三种）表示法；了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

（二）理解复合函数概念、了解反函数、分段函数及隐函数的概念；了解基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。

（三）会建立简单应用问题中的函数关系式。

（四）理解数列极限的概念，理解函数极限的概念、函数的左极限和右极限的概念，掌握极限存在与左、右极限的关系；了解极限性质。

（五）会利用四则运算法则计算极限。

（六）掌握极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，并会用它们求极限；记住两个重要极限以及它们的各种变形，并会利用它们去求极限。

（七）了解无穷大的概念和基本性质，掌握无穷小阶的比较方法；了解无穷大的概念及其与无穷小之间的关系的；会用等价无穷小求极限。

（八）理解函数连续性的概念；会讨论分段函数的连续性；会判断间断点的类型。

（九）了解连续函数的性质、初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值与最小值定理和介值定理）及其简单的应用。

 

第２章 导数与微分

一、学习目的和要求

　通过本章的学习，记住并掌握导数与微分的概念；会判断函数在某点是否可导；掌握求导与求微分的运算。

二、考核知识点

  （一）导数的概念、函数的可导性与连续性之间的关系；

　（二）导数的四则运算法则；基本初等函数的导数公式；复合函数、反函数、隐函数和参数方程表示的函数的导数；高阶导数。

 （三）微分的概念和运算法则；

三、考核目标要求

（一）理解导数的概念，函数可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义；

（二）牢记基本初等函数的导数公式，掌握导数的四则运算法则及复合函数的求导法；掌握反函数与隐函数求导法（包括对数求导法）；掌握参数方程表示的函数的导数。

（三）了解高阶导数的概念，会求二阶、三阶导数及简单函数的n阶导数。

（四）了解微分的概念，导数与微分之间的关系，以及一阶微分形式的不变性；掌握微分法。

 

第３章 导数的应用

一、学习目的和要求

　　通过本章学习，以微分中值定理为基础，掌握利用导数研究函数的性态，求函数的最值，并进行简单应用。

二、考核知识点

　（一）微分中值定理；

　（二）L’Hospital 法则；

　（三）函数的单调性与极值、凹凸性与拐点；函数最值与最值应用；

　（四）渐近线及函数图形的描绘。

三、考核目标要求

　（一）理解并会应用罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理，掌握这三个中值定理的简单应用；

　（二）会用L’Hospital 法则求不定式的极限；

　（三）掌握用导数判断函数的单调性和极值的方法，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其简单应用；

　（四）掌握函数图形凹凸性和拐点的判别方法，会求水平、垂直渐近线；

　（五）掌握函数作图的基本步骤和方法，会作某些简单函数的图形。

 

第４章 不定积分

一、学习目的和要求

　　通过本章的学习，掌握不定积分的概念并会求原函数。

二、考核知识点

　（一）原函数与不定积分的概念、不定积分的基本性质、基本积分公式；

　（二）不定积分的换元积分法；

　（三）分部积分法。

三、考核目标要求

　 （一）理解原函数、不定积分概念，记住不定积分的性质与基本积分表；

　 （二）掌握不定积分的换元积分法和分部积分法。

 

第5章 定积分

一、学习目的和要求

   通过文章的学习，理解定积分的定义，会利用微积分基本定理及积分的换元积分法和分部积分方法计算定积分，并会利用定积分进行平面图形的面积与简单几何体的体积计算。

二、考核知识点

　（一）定积分的概念和基本性质（积分中值定理）；

  （二）变上限定积分定义的函数及其导数、Newton-Leibnitz公式；

  （三）定积分的换元积分法和分部积分法；

  （四）广义积分的概念和计算；

  （五）定积分的应用。

三、考核目标要求

  （一）理解定积分的概念，了解定积分的性质与定积分的中值定理。

  （二）理解并掌握变上限积分所定义的函数及其求导定理，掌握牛顿–莱布尼兹公式；会利用换元积分法与分部积分法进行定积分的计算；

  （三）会利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积；

  （四）了解无穷限广义积分的概念；了解无穷限广义积分收敛与发散的概念。

 

第6章 空间解析几何与向量代数

一、学习目的和要求

　　通过本章的学习，能够理解向量的含义，了解空间曲面与曲线的表示，掌握向量的简单运算，并能记住空间直线与空间平面的表示。

二、考核知识点

（一）向量的概念、表示及线性运算，空间直角坐标系；

（二）向量的坐标表示、向量的模与方向余弦和投影；

（三）向量的数量积与向量积；

（四）空间曲面方程的概念，常用二次曲面的方程及其图形，空间曲线的参数方程和一般方程；

（五）空间平面与空间直线的方程表示，平面、直线以及平面与直线的相互关系（平行、垂直、相交等）。

三、考核目标要求

（一）了解向量的概念及其表示，了解空间直角坐标系。

（二）掌握向量的坐标表示，会用向量的坐标表示单位向量与方向余弦，会用坐标进行向量的代数运算，了解向量的模、方向角和投影。

（三）掌握向量的数量积概念，了解向量积的概念，会计算向量的数量积与向量积，并会应用它们求空间直线方程与空间平面方程；了解两个向量垂直、平行的条件。

（四）理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形；了解空间曲线的一般方程；

（五）掌握平面的点法式方程和一般方程，掌握直线的一般方程、对称式方程和参数式方程。 

 

 

第7章 多元函数微积分

一、学习目的和要求

　这一章的内容是一元函数微积分的推广，要了解二元函数的极限、连续；掌握二元函数的偏导数与全微分；会计算二元函数的极值；并能计算二元函数的重积分。

二、考核知识点

　（一）二元函数的概念、几何意义；

　（二）二元函数的极限与连续；

  （三）偏导数与全微分；

  （四）复合函数与隐函数微分法；微分法在几何上的应用；

  （五）二元函数的极值（条件极值）；

  （六）二重积分的定义与计算。

三、考核目标要求

   （一）了解平面区域的概念，理解二元函数的概念与几何意义；

   （二）了解二元函数极限、连续的概念、会求一些二元函数极限；

   （三）记住并理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件；

   （四）掌握复合函数求偏导数的法则，会求复合函数偏导数；掌握隐函数求偏导数的方法，会求隐函数的偏导数；了解微分法在几何上的应用；

   （五）理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件和充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值；

   （六）理解二重积分与性质；

   （七）会用直角坐标和极坐标计算二重积分。

 

第8章 无穷级数

一、学习目的和要求

　　通过本章的学习，理解常数项级数的概念与性质，能进行级数敛散性判别；会利用幂级数的性质计算幂级数的和函数，并能对较简单的函数进行幂级数展开。

二、考核知识点

（一）常数项级数的概念与性质；

（二）常数项级数的收敛判别法、交错级数的绝对收敛与条件收敛；

（三）幂级数的概念与性质，幂级数的和函数，将函数展成幂级数；

三、考核目标要求

（一）理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件，记住几何级数与调和级数的敛散性；

（二）掌握正项级数的比较、比值判别法，并会用它们去判别正项级数的敛散性；

（三）掌握交错级数的莱布尼兹定理，并会用它去判别交错级数的的敛散性；了解绝对收敛与条件收敛的概念以及它们间的关系， 会判别一些级数是绝对收敛还是条件收敛；

（四）理解幂级数的概念和收敛性，会求幂级数的收敛半径和收敛域；理解幂级数在其收敛区间内的基本性质，会用这些性质去求一些幂级数在其收敛区间内的和函数；

（五）掌握将函数展成幂级数的方法。

 

第9章 微分方程

一、学习目的和要求

　通过本章学习，要求掌握某些特殊的一阶与二阶微分方程的解法。

二、考核知识点

（一）微分方程的基本概念（通解与特解）；

（二）可分离变量的一阶微分方程与一阶线性微分方程的解法；

（三）可降阶的二阶微分方程与二阶常系数线性微分方程的解法。

三、考核目标要求

（一）理解微分方程的概念；

（二）掌握可分离变量的一阶微分方程与一阶线性微分方程的解法并会求解；

（三）掌握三类可降阶的二阶微分方程的解法并会求解；

（四）理解二阶线性微分方程解的结构，掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法并会求解。

 

第10章 拉普拉斯变换

一、学习目的和要求

　　通过本章学习，了解拉普拉斯变换的概念、性质以及在求解常系数线性微分方程中的应用。

二、考核知识点

　（一）拉普拉斯变换的基本概念、性质；

　（二）拉普拉斯变换的逆变换；

　（三）拉普拉斯变换的应用。

三、考核目标要求

　（一）了解拉普拉斯变换的基本概念、性质；

　（二）了解拉普拉斯变换的逆变换；

　（三）了解拉普拉斯变换的应用。

三、题型举例（考试时间为150分钟）（题型仅作参考，实际命题时不受此限）

（一）单项选择题（在备选答案中只有一个是正确的，将其选出并把它的题号写在题后括号内）   2分×15题=30分

(                )

(A) 0;     (B)  2 ;     (C) 不存在;  (D)

二.填空题　3分×5题=15分

  (                                )

三、计算题(一)　6分×5题＝30分

四、计算题(二) 　10分×2题＝20分

  1.求下列不定积分

五、证明题 5分×1题＝5分

  1.