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复变函数论自学考试大纲
浙江省高等教育自学考试办公室
二OO四年十二月
指定教材：《复变函数论》，钟玉泉编，高等教育出版社2004年1月第3版
一、课程性质与说明
复变函数论是高等师范数学专业基础课程之一。复变函数论主要研究解析函数。解析函数定义的几种等价形式，表现了解析函数这一概念在不同方面的特性。复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理，柯西公式为重要公式，留数基本定理是柯西定理的推广。共形映射是复变函数几何理论的基本概念。留数理论和共形映射也为实际应用提供了特有的复变函数论方法。
二、考核目标
第一章 复数与复变函数
复数和平面点集是研究复变函数的基础。复变函数及其极限理论与微积分学的相应内容类似，但因复变函数是研究平面上的问题，因而有其新的含义与特点。
（一）目的和要求
1．明确复数、区域、单连通区域、多连通区域、逐段光滑曲线、无穷远点、扩充复平面等概念。
2．明确复变函数连续性等价于其实部与虚部的连续性。
3．掌握复数的计算，会应用模和辐角的性质。
4．会作点集的图形，掌握一些简单函数的变换性质。
（二）主要内容
1．复数
复数的表示式及代数运算、复数的模及辐角、共轭复数、复数在几何中的应用。
2．复平面上的点集
平面点集、曲线、区域。
3．复变函数
复变函数的概念、极限及连续性。
4．复球面及无穷远点
复球面、无穷远点及扩充复平面。
第二章 解析函数
解析函数是本课程的主要研究对象，它是一类特殊的可微函数。判断函数可微和解析的主要条件是柯西－黎曼条件。复变函数中各类基本初等函数之间，具有明确的统一性。
（一）目的和要求
1．正确理解复变函数的可微、解析函数等基本概念。
2．明确柯西－黎曼条件与函数可微性、解析性的关系。
3．明确复变函数中各类基本初等函数的定义和性质以及它们与实初等函数的异同点。
4．能确定根式函数的单值解析分支并能求其函数值。
（二）主要内容
1．解析函数的概念与柯西－黎曼条件
2．初等解析函数
指数函数、三角函数、根式函数和对数函数的单值解析分支、反三角函数、一般幂函数和一般指数函数。
第三章 复变函数的积分
以柯西定理为基础，建立柯西公式，从而得出解析函数的积分表达式及各阶可微性。摩勒拉定理解决了柯西定理的逆问题。
（一）目的和要求
1．正确理解复积分的概念，掌握复积分的性质及一般计算法。
2．明确柯西积分定理及其几种推广的条件和结论。能运用柯西定理、柯西公式、高阶导数公式来求积分。
3．掌握柯西不等式、刘维尔定理、代数学基本定理。知道摩勒拉定理与柯西定理组成了解析函数的一个充要条件。
4．明确调和函数与共轭调和函数的概念，会由已知的调和函数和求出解析函数．
（二）主要内容
1．复积分的概念及其简单性质。
2．柯西积分定理。
3．柯西积分公式及其推论。
4．解析函数与调和函数的关系。
第四章 解析函数的幂级数表示法
泰勒级数给予解析函数明确的解析表示式。解析函数的唯一性定理及最大模原理是解析函数的重要特性。
（一）目的和要求
1．明确幂级数、收敛半径的概念。
2．会在指定点的邻域内将解析函数展成幂级数。
3．明确解析函数零点孤立性、唯一性定理以及最大模原理的条件和结论。
（二）主要内容
1．复级数的基本性质。
2．幂级数
幂级数、阿贝尔定理、收敛半径、收敛圆。幂级数和函数的解析性。
3．解析函数的泰勒级数
圆内解析函数的泰勒展式及其唯一性，幂级数和函数在收敛圆周上的奇点存在性，初等函数的泰勒展式。
4．解析函数零点的孤立性及唯一性定理。
5．最大模原理。
第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点
洛朗展式是研究解析函数的孤立奇点的重要工具。
（一）目的和要求
1．明确洛朗展式、孤立奇点、可去奇点、极点、本性奇点的概念和性质。
2．会求简单函数的洛朗展式，会判别孤立奇点的类型（包含无穷远点的情形）。
（二）主要内容
1．解析函数的洛朗展式
环内解析函数的洛朗展式及其唯一性。
2．解析函数的孤立奇点
孤立奇点的定义、分类及函数在孤立奇点邻域内的性质。
3．解析函数在无穷远点的性质。
第六章 留数理论及其应用
留数在复变函数的周线积分及一些实积分计算中起着重要作用。应用留数理论还可以考察区域内函数的零点分布状况。
（一）目的和要求
1．明确留数的概念、留数的基本定理，会求函数的留数。
2．用留数理论计算周线积分。
3．用留数定理计算四种类型的实积分。
4．明确儒歇定理的条件和结论，并能应用儒歇定理解决有关代数方程的问题。
（二）主要内容
1．留数
留数的定义、基本定理、求法（包含无穷远点情形）。
2．用留数定理计算实积分：(1)型积分, (2) 型积分, (3) 型积分, (4)积分路径上有奇点的积分。
3．辐角原理及其应用。
第七章 共形映射
共形映射是复变函数几何理论的基本概念。线性变换和其它初等函数的包含有广泛的应用。
（一）目的和要求
1．明确导数的几何意义以及共形映射、线性变换的概念和性质。明确单叶解析函数的概念和性质。
2．会用线性变换以及幂函数、指数函数、平移、旋转、伸缩等变换作为“跳板”寻求简单区域的共形映射。
（二）主要内容
1．解析变换的特性。
2．线性变换。
3．某些初等函数所构成的共形映射
与；与，以及它们的简单复合变换。
三、样题(考试大纲中题型举例仅作参考，实际命题时不受此限)
- 填空题(每空2分，共16分)
(1) 若函数在复平面上为解析函数，并且有界，则 ．该命题被称为刘维尔定理。
2．判断下列命题之真伪（用‘ü’表示正确，‘û’表示不正确。每小题2分，共14分）
(1) 在有界区域内解析，且在其中有无穷多个零点，则在内恒为零． （ ）
3．完成下列各题（每小题5分，共30分）
证明在平面上是无界函数．
4．（10分）试证明：在原点解析，而在处分别取下列值的函数不存在：
5．（10分）求之值，其中．
6．（10分）求把区域保形变换为区域的线性变换，使, ．
7．（10分）设，在区域内解析，且连续到边界，如果，
则
四、命题依据和范围
《复变函数论》自学考试命题的基本依据是上述的考试大纲与指定的学习用书
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