【真题】2024年10月自考13174概率论与数理统计（工）试题

📍 全国统考 💯 满分：100分 ✓ 及格：60分 ⏱ 时长：150分钟 📝 题量：21题

单项选择题

1. 从装有三个白球和两个红球的袋中任取两个球，事件 $ A $ 表示 “取到两个红球”，则 $ \overline{A} $ 表示

A. 取到两个白球

B. 至少取到一个红球

C. 没有取到红球

D. 至少取到一个白球

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单项选择题

2. 设随机变量 $ X $ 的概率密度 $ f(x) $ 是偶函数，则对任意 $ a > 0 $，$ P\{X \geq a\} = $

A. $ 2[1 – F(a)] $

B. $ 2F(a) – 1 $

C. $ 2F(a) $

D. $ 1 – 2F(a) $

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单项选择题

3. 设随机变量 $ X_i $ 的分布律为 $ \frac{X_i}{P} \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0.25 \\ 0.5 \\ 0.25 \end{bmatrix} $ ( $ i = 1, 2 $ )，且满足 $ P\{X_1 X_2 = 0\} = 1 $，则 $ P\{X_1 = X_2\} = $

B. 0.25

C. 0.5

D. 1

正确答案： A

解析：条件 $ P\{X_1 X_2 = 0\} = 1 $ 意味着 $ X_1 $ 和 $ X_2 $ 不同时非零，即不能同时取 $ \pm 1 $。而 $ X_i \in \{-1,0,1\} $，且独立同分布（未明说但默认）。要使乘积恒为0，联合分布中所有 $ (x_1,x_2) $ 满足 $ x_1 x_2 = 0 $，即排除 $ (-1,-1), (-1,1), (1,-1), (1,1) $。因此 $ X_1 = X_2 $ 只可能在 $ (0,0) $，而 $ P(X_1=0,X_2=0) \leq P(X_1=0)P(X_2=0) = 0.5 \times 0.5 = 0.25 $，但受约束后实际联合概率需重分配。由于 $ P(X_1 X_2 = 0)=1 $，则 $ P(X_1=\pm1, X_2=\pm1)=0 $，故 $ P(X_1=X_2=1)=0 $，$ P(X_1=X_2=-1)=0 $，仅剩 $ P(X_1=X_2=0) $ 可能非零。但 $ P(X_1=0)=0.5 $，$ P(X_2=0)=0.5 $，若完全相关则 $ P(0,0)=0.5 $，但还需满足边缘。标准解法：由 $ P(X_1 X_2=0)=1 $，得 $ P(X_1 \neq 0, X_2 \neq 0)=0 $，而 $ X_1=X_2 \neq 0 $ 属于该集合，故 $ P(X_1=X_2 \neq 0)=0 $；又 $ P(X_1=X_2=0) \leq \min(P(X_1=0),P(X_2=0))=0.5 $，但无法确定具体值。然而题目要求唯一答案，且选项含0，结合常见题型：当乘积恒为0时，$ X_1 $ 和 $ X_2 $ 不能同取非零值，故 $ X_1=X_2 $ 仅可能为0，但 $ P(X_1=X_2=0) $ 不一定为0。再分析：若 $ X_1,X_2 $ 独立，则 $ P(X_1 X_2=0) = 1 – P(X_1 \neq 0)P(X_2 \neq 0) = 1 – (0.5)^2 = 0.75 \neq 1 $，故不独立。为满足 $ P=1 $，必须使 $ P(X_1 \neq 0, X_2 \neq 0)=0 $，即联合分布中 $ (-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1) $ 概率全为0。此时 $ X_1=X_2 $ 的可能取值仅为0，对应概率为 $ P(0,0) $。但 $ P(X_1=0) = P(0,-1)+P(0,0)+P(0,1) = 0.5 $，同理 $ P(X_2=0)=0.5 $。若令 $ P(0,0)=p $，则 $ P(-1,0)+P(1,0)=0.5-p $，$ P(0,-1)+P(0,1)=0.5-p $。而 $ X_1=X_2 $ 的总概率为 $ p + P(-1,-1)+P(1,1) = p $（后两项为0）。但 $ p $ 可取0（如将概率全分给 $ (-1,0),(0,-1),(0,1),(1,0) $），故最小为0，且题目问确定值，故唯一可能是0。

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单项选择题

4. 设随机变量 $ X $ 与 $ Y $ 相互独立，且分别服从正态分布 $ N(0, 1) $ 和 $ N(1, 1) $，则下列等式成立的是

A. $ P\{X + Y \leq 0\} = \frac{1}{2} $

B. $ P\{X + Y \leq 1\} = \frac{1}{2} $

C. $ P\{X – Y \leq 0\} = \frac{1}{2} $

D. $ P\{X – Y \leq 1\} = \frac{1}{2} $

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单项选择题

5. 设二维随机变量 (X,Y) 具有下述概率密度，则 X 与 Y 是相互独立的为

A. $ f(x, y) = \begin{cases} x^2 + \frac{xy}{3}, & 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 2, \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $

B. $ f(x, y) = \begin{cases} 6x^2y, & 0 < x < 1, 0 < y < 1, \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $

C. $ f(x, y) = \begin{cases} \frac{3}{2}x, & 0 < x < 1, -x < y < x, \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $

D. $ f(x, y) = \begin{cases} 8xy, & 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x, \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $

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单项选择题

6. 设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，$ Y = 2X + e^{-2X} $，则 $ E(Y) = $

A. $ \frac{3}{4} $

B. $ \frac{4}{3} $

C. $ \frac{3}{2} $

D. 5

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单项选择题

7. 设随机变量 X 与 Y 不相关，且 $ \frac{X}{P} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0.3 & 0.3 & 0.4 \end{vmatrix} $，$ \frac{Y}{P} \begin{vmatrix} -2 & -1 & 0 \\ 0.3 & 0.3 & 0.4 \end{vmatrix} $，则 $ E(XY) = $

A. -0.99

B. -0.2

C. 0.99

D. 2

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单项选择题

8. 设总体 $ X \sim N(1, 9) $，$ X_1, X_2, \cdots, X_9 $ 为来自该总体的样本，$ \bar{X} $ 为样本均值，则在下列随机变量中服从标准正态分布的是

A. $ \frac{\bar{X} – 1}{9} $

B. $ \frac{\bar{X} – 1}{3} $

C. $ \frac{\bar{X} – 1}{\sqrt{3}} $

D. $ \bar{X} – 1 $

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9.设总体 $ X \sim U(\theta, 5\theta) $，其中未知参数…

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本试卷共 21 道题

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2025年10月自学考试13174概率论与数理统计（工）真题

练习详情

概率论与数理统计（工）自学（2023年版）

概率论与数理统计（工）（2023年版）（含：概率论与数理统计（工）自学考试大纲）

作者：孙洪祥,张志刚

出版社：北京大学出版社

版本：2023年版

【真题】2024年10月自考13174概率论与数理统计（工）试题

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