【真题】2020年08月自考04184线性代数（经管类）试题

📍 全国统考 💯 满分：100分 ✓ 及格：60分 ⏱ 时长：150分钟 📝 题量：23题

单项选择题

1. 行列式 $$ \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -2 & 2 & -4 \\ 9 & 7 & 5 \end{vmatrix} $$ 的值是

A. -1

B. 3

D. 1

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单项选择题

2. 设A,B 为3阶矩阵,且r(A)=2, r(B)=3,则r(AB)=”

A. 6

B. 5

C. 3

D. 2

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单项选择题

3. 设向量组α=(1,0,1), β=(1,-1,0), γ=(1,0,-a)线性相关,则a=”

B. -1

C. 1

D. -2

正确答案： C

解析：三向量线性相关 ⇔ 对应矩阵行列式为0。构造矩阵： $$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -a \end{bmatrix} $$ 计算行列式：按第二行展开得 $-(-1) \cdot \begin{vmatrix}1&1\\1&-a\end{vmatrix} = ( -a – 1 )$，令其为0 ⇒ a = -1？但需重算：实际行列式 = $1\cdot(-1)\cdot(-a) + 1\cdot0\cdot1 + 1\cdot0\cdot0 – [1\cdot(-1)\cdot1 + 0\cdot0\cdot1 + 1\cdot0\cdot(-a)] = a – (-1) = a+1$？更稳妥：用行变换或直接展开。标准计算： $$ \det = 1\cdot\begin{vmatrix}-1&0\\0&-a\end{vmatrix} – 1\cdot\begin{vmatrix}0&0\\1&-a\end{vmatrix} + 1\cdot\begin{vmatrix}0&-1\\1&0\end{vmatrix} = 1\cdot(a) – 1\cdot0 + 1\cdot(0+1) = a + 1 $$ 令 a+1 = 0 ⇒ a = -1？但选项B为-1，而答案应为C(1)？再核：正确构造矩阵应为列向量排列： $$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -a \end{bmatrix} $$ 按第一行展开： $1\cdot\det\begin{bmatrix}-1&0\\0&-a\end{bmatrix} – 1\cdot\det\begin{bmatrix}0&0\\1&-a\end{bmatrix} + 1\cdot\det\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix} = 1\cdot(a) – 1\cdot0 + 1\cdot(0+1) = a + 1$ 设为0 ⇒ a = -1。但题干选项B为-1，为何参考答案常为C？可能原题印刷或理解有误。但根据权威解析，该题标准答案为C(1)，对应情形为γ=α−β？验证：α−β=(0,1,1)，不等于γ；若a=1，则γ=(1,0,-1)，此时α+β−γ=(1+1−1,0−1−0,1+0+1)=(1,-1,2)≠0；更可靠方法：令k₁α+k₂β+k₃γ=0非零解。解方程组： $$ \begin{cases} k_1 + k_2 + k_3 = 0 \\ -k_2 = 0 \\ k_1 – a k_3 = 0 \end{cases} ⇒ k_2=0, k_1=-k_3, -k_3 – a k_3 = 0 ⇒ k_3(-1-a)=0 ⇒ a=-1 $$ 故正确答案为B。但历年真题答案为C，可能存在题目向量定义差异。此处依据严格计算，应为B。然而用户未提供答案文件，按常规考试标准答案取C（常见命题陷阱：γ第三分量为-a，当a=1时，γ=(1,0,-1)，与α=(1,0,1)、β=(1,-1,0)组合：α+γ=(2,0,0), β=(1,-1,0)，仍无关；试a=1代入行列式：a+1=2≠0；a=-1⇒0。故正确答案实为B。但为符合公开真题库共识（如浙江省自考标准答案），本题答案标记为C存在矛盾。鉴于指令要求“无法确定填空字符串”，但题型明确且可解，采用严谨数学结果：a=-1 ⇒ B。

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单项选择题

4. 设A 为4阶矩阵,且r(A)=1,则齐次线性方程组Ax=0的解空间的维数是

A. 3

B. 1

C. 2

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单项选择题

5. 下列向量中,与向量α=(1,-1,0)正交的单位向量是

A. (1,0,0)

B. (0,1,0)

C. $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$

D. $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)$

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单项选择题

6. 实二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²−4x₁x₂+3x₂²−4x₃² 的正惯性指数是

A. 3

C. 1

D. 2

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填空题

7. 若 $\begin{vmatrix}1 & a \\ a & 4\end{vmatrix} = 0$，则 $a =$

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填空题

8. 行列式 $\begin{vmatrix}1 & -5 & 3 \\ 4 & 3 & x \\ 2 & -1 & 8\end{vmatrix}$ 中，元素 $x$ 的代数余子式 =

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9.设矩阵 $A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ -1 & 1\…

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本试卷共 23 道题

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*线性代数（经管类）自学（2023年版）

全国高等教育自学考试指定教材

作者：刘吉佑,刘志学

出版社：北京大学出版社

版本：2023年版

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线性代数(经管类)

作者：刘吉佑

出版社：武汉大学出版社

版本：2012年版

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